简单的梯度下降的链式求导示例

梯度下降的链式求导是机器学习和优化中常见的技巧之一。下面我将给出一个简单的例子来说明如何使用链式求导法则进行梯度下降。

考虑一个简单的线性回归问题，其中我们的目标是拟合一个线性模型：
$$
\hat{y} = w \cdot x + b
$$

其中：

• $\hat{y}$ 是预测的输出值。
• $w$ 是权重（系数）。
• $x$ 是输入特征。
• $b$ 是偏置。

我们使用均方误差（MSE）作为损失函数：
$$
L(w, b) = \frac{1}{2N} \sum_{i=1}^{N} (\hat{y}_i - y_i)^2
$$

其中：

• $N$ 是样本数量。
• $\hat{y}_i$ 是第 $i$ 个样本的模型预测值。
• $y_i$ 是第 $i$ 个样本的实际标签。

现在，我们希望通过梯度下降来最小化损失函数 $L(w, b)$，优化权重 $w$ 和偏置 $b$。下面是梯度下降的链式求导示例：

1. 计算损失函数关于预测值 $\hat{y}$ 的偏导数：
   $$
   \frac{\partial L}{\partial \hat{y}} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (\hat{y}_i - y_i)
   $$

2. 计算预测值 $\hat{y}$ 关于权重 $w$ 的偏导数：
   $$
   \frac{\partial \hat{y}}{\partial w} = x
   $$

3. 计算预测值 $\hat{y}$ 关于偏置 $b$ 的偏导数：
   $$
   \frac{\partial \hat{y}}{\partial b} = 1
   $$

4. 利用链式求导法则，计算损失函数关于权重 $w$ 的偏导数：
   $$
   \frac{\partial L}{\partial w} = \frac{\partial L}{\partial \hat{y}} \cdot \frac{\partial \hat{y}}{\partial w} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (\hat{y}_i - y_i) \cdot x_i
   $$

5. 利用链式求导法则，计算损失函数关于偏置 $b$ 的偏导数：
   $$
   \frac{\partial L}{\partial b} = \frac{\partial L}{\partial \hat{y}} \cdot \frac{\partial \hat{y}}{\partial b} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (\hat{y}_i - y_i)
   $$

现在，你可以使用梯度下降算法来更新权重 $w$ 和偏置 $b$：
$$
w = w - \alpha \frac{\partial L}{\partial w}
$$
$$
b = b - \alpha \frac{\partial L}{\partial b}
$$

其中 $\alpha$ 是学习率，它控制了每次迭代中权重和偏置的更新步长。

这就是一个简单的梯度下降的链式求导示例，用于线性回归问题。链式求导法则允许我们有效地计算复合函数的导数，从而优化模型参数。