微积分基础
第一章 函数
1.1 函数的定义及其要素
1.1.1 函数的定义
设 $x$，$y$ 是两个变量，若对非空数集 $D$ 中每一个值 $x$，按照一定的对应法则 $f$ 总有唯一确定的值 $y$ 和它对应，则称 $y$ 是 $x$ 的函数，记为
$$ y=f(x) $$其中，$y$ 为因变量，$x$ 为自变量
数集 $D$ 称为函数的定义域，$y=f(x), x \in D$，这样y的集合称为函数的值域，记作 $W=\{y | y=f(x),x \in {D}\}$ 。
在函数 $y = f(x)$ 中，当 $x$ 取值 $x_0(x_{0} \in D)$ 时，则称 $f(x_0)$ 为 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 处的函数值。
在函数 $y=f(x)$ 的对应法则 $f$ 也可用 $g$ 、$\varphi$、$F$ 等表示，相应的函数记作 $g(x)$、$\varphi(x)$、$F(x)$ 等。
求函数的定义域,通常注意以下几点:
- 分式函数的分母不能为零;
- 偶次根式的被开方式大于或等于零;
- 对数函数的真数大于零;
- 在实际问题中要结合实际意义确定;
- 含有多种情况时,取各部分自变量取值的交集。
例子：
求函数 $y = \frac{\sqrt{16-x^2}}{x+2}$的定义域。
解：因为$16-x^2\geq0$，$x + 2 \neq 0$
得到 $4 \geq x \geq -4$，$x \neq -2$，取其交集部分
所以函数定义域为 -4到-2的左闭右开区间 并 -2到4的左开右闭区间，即为$[-4, -2)\cup(-2,4]$。
函数的两个要素为：①定义域$D$，②对应法则 $f$
思考1: 函数 $y=|x|$ 与 $y=\sqrt{x^2}$ 是同一个函数吗？
解：先看定义域，这两个函数的定义域是相同的，其定义域都是 $-\infty$ 到 $\infty$。再看对应法则$y=\sqrt{x^2}$的计算效果就等同于 $y=|x|$ 的效果，所以其对应法则也是一样的，因此这两个函数是同一个函数。
思考2: 函数$f(x)=lgx^2$ 与 $g(x) = 2lgx$ 是同一个函数吗？
解：$f(x)=lgx^2$其定义域为 $x$ 不得为 $0$ 这样的集合，而$g(x) = 2lgx$的$x$取值范围为$x>0$这样的集合。所以其定义域是不一样的。因此本题的两个函数不是同一个函数。
注意:两个函数相等的充分必要条件是它们的定义域与对应法则均相同。
课堂小作业：
【判断题】函数 $y=1$ 与 $y=\frac{x}{x}$ 不是同一个函数。
A、对
B、错
正确答案：A
1.1.2 函数的表示法
函数的表示法分为：解析法、图像法、表格法
1.1.2.1 函数的表示法：解析法
将自变量和因变量之间的关系用数学表达式来表示的方法，称为解析法。
例如：$y=x^2+1$
优点：简单明了
缺点：涉及具体数据时还需要计算。
1.1.2.2 函数的表示法：图像法
在坐标系中用图形来表示函数关系的方法，称为图像法。
例如：函数$y=e^x$在定义域$(-\infty,+\infty)$内的图像为
优点：直观的表示函数的变化趋势。
缺点：有时自变量与因变量的读值不准。
1.1.2.3 函数的表示法：表格法
将自变量的值与对应的函数值列成表格。
例如：某商品1~6月份的销售数量列表如下：
| 月份t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 销售量Q（件） | 100 | 105 | 110 | 115 | 111 | 120 |
优点：自变量与因变量的对应一目了然。
缺点：表格有局限性。
1.1.3 分段函数
在定义域内的不同范围内用不同的解析式来表示的函数称为分段函数。
注意：分段函数的定义域是自变量各部分取值的并集。
例如：函数$$f(x) = \begin{cases} x, & -1 \leq x \leq 0 \\ x^2, & 0 \leq x \leq 1 \\ x+1, & 1 \leq x \leq 2 \end{cases}$$为分段函数。
函数定义域为$(-1,0)\cup(0,1)\cup(1,2]$，即为$(-1,2]$。
1.2 函数的基本性质
函数的基本性质包含奇偶性、周期性、有界性、单调性。
1.2.1 函数的奇偶性
1.2.1.1 偶函数
设函数 $y=f(x)$ 的定义域$D$关于原点对称（即当 $x\in$D，就有 $-x \in D$）,若对其定义域 $D$ 内任意 $x$，恒有 $f(-x)=f(x)$ 成立，则称 $f(x)$ 为偶函数。
偶函数的图像关于y轴对称。
例如：函数$y=cos x$在定义区间$(-\infty,+\infty)$内为偶函数，图像如图所示
1.2.1.2 奇函数
设函数 $y=f(x)$ 的定义域 $D$ 关于原点对称（即当 $x \in D$，就有 $-x \in D$ ）,若对其定义域 $D$ 内任意 $x$, 恒有 $f(-x)=-f(x)$ 成立，则称 $f(x)$ 为奇函数。
图像特征：每当在定义域内找到$x$，对应的函数值为 $f(x)$，都有$-x$ 也属于定义域内，那么$-x$对应的函数值为$f(-x)$，那么$f(x)$ 等于$-f(x)$。
奇函数的函数关于原点对称。
例如：函数$y=sinx$ 在其定义区间$(-\infty,+\infty)$ 内为奇函数。
1.2.1.3 既是奇函数又是偶函数
有的函数既是奇函数又是偶函数。
例如：$y=0$
该函数画其图像是一条直线，此直线是跟 $x$ 轴重合，它的图像既关于$y$轴对称，也关于原点对称。所以 $y=0$ 这个函数既是奇函数又是偶函数。
1.2.1.4 非奇非偶函数
不是奇函数也不是偶函数的函数称非奇非偶函数。
注意：讨论函数的奇偶性，必须先指明自变量所在的区间是否关于原点对称。
1.2.2 函数的单调性
1.2.2.1 单调增加函数
设函数 $y=f(x)$ 的定义域为$D$，区间$I \subset D$，如果对于区间 $I$ 上任意两点 $x_1$ 及 $x_2$, 当$x_1 < x_2$ 时，恒有
$$ f(x_1) < f(x_2) $$则称函数 $y=f(x)$ 在 $I$ 上是单调增加函数。
图像特征：在定义区间之内，任意找到两个点$x_1$、$x_2$，当 $x_1$ 小于 $x_{2}$ 时，$f(x_1)$ 也小于$f(x_2)$，那么其图像自左向右有一个逐步上升的过程。
图像为沿x轴正向单调上升的曲线。
课堂练习：
【判断题】 函数 $y=2^x$ 在定义区间$(-\infty, +\infty)$内为单调增加函数。
A. 对
B. 错
正确答案：A
1.2.2.2 单调减少函数
设函数 $y=f(x)$ 的定义域为 $D$，区间 $I \subset D$，如果对于区间 $I$ 上任意两点 $x_1$ 及 $x_2$，当$x_1 则称函数 $y=f(x)$ 在 $I$ 上是单调减少函数。 图像特征：在定义区间之内，任意找到两个点$x_1$、$x_2$，当 $x_1$ 小于 $x_{2}$ 时，恒有$f(x_1)$ 大于$f(x_2)$，那么其图像自左向右有一个逐步下降的过程。 图像为沿x轴正向单调下降的曲线。 例子：函数 $y=x^3$ 在其定义区间$(-\infty,+\infty)$内图像为 注意：讨论函数的单调性，必须先指明自变量所在的区间。 例子：函数 $y=x^2$ 在其定义区间$(-\infty, +\infty)$ 内图像为 函数 $y=x^2$ 在区间$(-\infty,+\infty)$ 内不是单调的，在$[0,+\infty)$内是单调增加的，在$(-\infty,0]$是单调减少的。 设函数$y=f(x)$的定义域为D，如果存在常数$T\neq 0$，使得对于每一个$x \in D$, 有$x+T \in D$，且总有 则称函数$y=f(x)$为周期函数，其中$T$叫做函数的周期，通常函数的周期是指它的最小正周期。 我们接触的周期函数有很多，例如$y=sinx$、$y=cosx$、$y=tanx$、$y=cotx$。 例子：余切函数$y=cotx$，其定义域为$x$不等于$k\pi$，k属于整数的集合，即$\{x|x\neq k\pi, k \in Z\}$。 观察其图像，可以发现呈现周期性反复出现的。那么$y=cotx$周期为$\pi$。 设函数$y=f(x)$在某区间$I$上有定义，若存在数$M>0$，使得对于 $I$ 中任意一个 $x$，恒有 则称函数 $y=f(x)$ 在区间 $I$ 上有界，或称 $y=f(x)$ 在 $I$ 上为有界函数，否则称$y=f(x)$ 在区间$I$上无界。 图像特征：$y=M$ 为一条直线，$y=-M$也为一条直线。这两条直线都与$x$轴平行的。其图像始终介于这两条直线之间。 有界函数图像介于平行于$x$轴的直线 $y=-M$ 与 $y=M$ 之间。 函数既有上界也有下界时，称函数是有界的，其中$y=M$称为函数的上界，$y=-M$称为函数的下界。 注意:讨论函数有界或无界，必须先指明自变量所在的区间。 例子：函数$f(x) = x^{-1}$在开区间$(0,1)$内是无界的，而在区间$(1,2)$内是有界的。 基本初等函数有常值函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。 其图像为平行于 $x$ 轴的直线。 常值函数特点： 当$\alpha$取不同的值时，幂函数的定义域和值域可能不同，但在 $(0, +\infty)$ 内都有定义，图形均过点(1,1)。 图形均过点$(0, 1)$。 如图所示：当$a>1$时，它为单调增函数，我们说$a>1$时，$y=a^x$ 与 $y=a^{-x}$关于$y$轴对称。 那么$a>1$时，$y=a^{-x}$还可以写成$(\frac{1}{a})^x$，即 此时，因为$a>1$，那就说明$\frac{1}{a}$大于0，小于1的，那么它为减函数。 指数函数$y=a^x$特点： 读作，$\log$ 以a为底$x$的对数。 指数函数、对数函数互为反函数。其图像就会关于$y=x$这条直线对称。 当$a>0$时，它为增函数，当$1>a>0$时为减函数。 对数函数$y=\log_{a}{x}$特点： 常见的三角函数有：正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数。 正弦函数$y=sinx$，其定义域为$(-\infty,+\infty)$。 正弦函数图像特征：它的值域为[-1,1]，那么它为有界函数，图像关于原点对称，所以$y=sinx$在定义域内它是奇函数，它的周期为$2\pi$。 余弦函数$y=cosx$，其定义域为$(-\infty,+\infty)$。 余弦函数图像特征：它的值域为[-1,1]，那么它为有界函数，图像关于$y$轴对称，所以$y=cosx$在定义域内它是偶函数，它的周期为$2\pi$。 正切函数$y=tanx$，其定义域为$\{x|x\neq k\pi+\frac{\pi}{2}, k \in Z\}$。 正切函数图像特征：没有上界也没有下界，那么它为无界函数，图像关于原点对称，所以$y=tanx$为奇函数，它的周期为$\pi$。 余切函数$y=cotx$，其定义域为$\{x|x \neq k\pi, k \in Z\}$。 余切函数图像特征：它的图像关于原点对称，所以它为奇函数，它没有上界也没有下界，是无界函数，它的周期为$\pi$。 反三角函数是三角函数的反函数。由于三角函数是周期函数，那么反三角函数只取其一个周期的反函数。那么反三角函数都有反正弦函数、反余弦函数、反正切函数、反余切函数。 反正弦函数$y=arcsinx$，其定义域为$[-1, 1]$，值域为$[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$。 反正弦函数图像特征：在定义域范围之内是单调增加函数。 反余弦函数 $y=arccosx$，其定义域为$[-1,1]$，值域为$[0, \pi]$。 反余弦函数图像特征：在定义域范围之内是单调减少函数。 反正切函数$y=arctanx$，其定义域为$(-\infty, +\infty)$，值域为$(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}2)$。 反正切函数的图像特征：从图像上看，它是一个有界函数，并且在定义域内，它是单调增加函数。 反余切函数 $y=arccotx$，其定义域为$(-\infty,+\infty)$，值域为$(0,\pi)$。 反余切函数函数特征：从图像上看，它是一个有界函数，并且在定义域内，它是单调减少函数。 微积分研究对象是函数。它是以极限为工具来研究函数的。微积分中的定义都是用极限来刻画的。由此可见极限在微积分中的重要地位。 问题引入： 实例1：用计算器做一个游戏。对2不断的开方，得到一个数列。 问题： 大家其实可以观察到，对2不断的开方我们可以无限的开方下去的。 通过如上表格分析，得到的开方得到的结果是越来越小的，并且趋近于1的。 可以观察到当用计算器开方到30次的时候，得到的结果是1，而且这个结果不是精确的1，而是近似于1。 这里面就隐含了极限的思想。 实例2：截丈问题 “一尺之捶，日取其半，万世不竭 - 《庄子·天下》”，意思是一尺长的棍棒，每日截取它的一半，永远截不完。 现有一根长绳子，对折、对折、对折、再对折。如此继续，对折后的长度是一个数列： 当$n$无限增大时，$\frac{1}{2^n}$无限接近常数0，但永远不等于0，这就是万世不竭。 这两个实例都包含”逼近”的重要极限思想。 对于数列 $\{x_n\}$，如果当 $n$ 无限增大时，通项 $x_n$ 无限趋近于某个确定的常数$A$，则称该数列以 $A$ 为极限，或称数列 $\{x_n\}$ 收敛于 $A$，记作： 读作当 $n$ 趋近于$\infty$时，$x_n$的极限存在，且为A。 若数列${x_n}$没有极限，则称该数列为发散。 例子1：有这样的数列$1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},...,\frac{1}{n},...$，该数列是否存在极限？ 解：$\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n} = 0$，由式看到，当$n$趋近于无穷时，$\frac{1}{n}$的极限是存在的，那么这里面的0是确定的常数0。因此我们称它的极限存在，且为0。 例子2：有这样的数列$1,-1,1,...,(-1)^{n+1}$，该数列是否存在极限？ 解： 从图像可看到，奇数项的值是1，偶数项的值是-1，那么它是不满足某个确定常数A的，因此它是没有极限的。 注意：有极限的数列称为收敛数列，没有极限的数列称为发散数列。 课堂练习： 【判断题】$\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}=1$。 A. 对 B. 错 正确答案：A 数列可以看成自变量为n的函数，实际上数列极限是 函数极限自变量趋于无穷大 的特例，所以可以将数列的极限理论推广到函数中。 观察数列 $x_n=\frac{1}{n}$ 与函数 $y=\frac{1}{x}（x\in(0,+\infty)）$ 从图像可以观察到当$n$趋近于$+\infty$时，$\frac{1}{n}$的极限是存在且为0的，记作：$\lim_{n \to +\infty}\frac{1}{n}=0$。 那么当自变量$x$趋近于$+\infty$时，$\frac{1}{n}$的极限也是存在且为0。 如何用数学语言刻画函数“无限接近”。 自变量趋于无穷时函数极限的概念： 对于函数$y=f(x)$，如果当$x\rightarrow\infty$时，$f(x)$无限地趋近于一个确定常数$A$，则称当$x\rightarrow\infty$时，函数$f(x)$的极限是$A$，记作： 注意，这里的当$x\rightarrow\infty$时是指同时趋近于$+\infty$和$-\infty$的。在描述定义的时候，一定要说出当$x\rightarrow\infty$时，函数$f(x)$的极限是$A$。千万不要说，这个函数的极限是$A$，这样是不准确的。 曲线 $y=f(x)$ 沿着 $x$ 轴的正向和负向无限地延伸时，与直线 $y=A$ 越来越接近，即以直线 $y=A$ 为水平渐近线。 如图： 例子：已知函数$y=\frac{1}{x}$，观察其函数图形。 我们可以从图像中观察到，无论当$x\to-\infty$ 还是$x\to+\infty$时，对应的函数$y$值都无限接近于常数0。那么这个时候我们就可以记作$\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0$。 同理： 对于函数 $y=f(x)$，如果当 $x\to+\infty$ 时，$f(x)$ 无限地趋近于一个确定常数A，则称当$x \to +\infty$时，函数 $f(x)$ 的极限是A，记作： 同理： 对于函数 $y=f(x)$，如果当 $x\to-\infty$ 时，$f(x)$ 无限地趋近于一个确定常数A，则称当$x \to -\infty$时，函数 $f(x)$ 的极限是A，记作： 课堂练习： 【判断题】$\lim_{x\to+\infty}e^{-x}=0$。 A. 对 B. 错 正确答案：A 定理： 极限$\lim_{x\to\infty}f(x) = A$的充要条件是 注意：根据这个定理，极限$\lim_{x\to+\infty}f(x)$与极限$\lim_{x\to-\infty}f(x)$中只要有一个不存在，或者虽然存在但是值不相等，则极限$\lim_{x\to\infty}f(x)$不存在。 观察函数 $f_1(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$，$f_2(x)=x+1$。当$x\to1$时的变化趋势。 这两个函数很明显它们的定义域是不一样的。但是它们的对应法则是一致的。 解： 当$x\to1$时，$f_1(x)=\frac{x^2-1}{x-1}=x+1(x\neq1)\to2$。从式子可以看到当$x$趋近于1时，$f_1$这个函数的极限是存在的且为2。 当$x\to1$时，$f_2(x)=x+1 \to 2$。从式子可以看到当$x$趋近于1时，$f_2$这个函数的极限是存在的且为2。 通过观察$f_1$和$f_2$两个函数，我们发现，当$x$趋近于1时，函数的极限跟 $x=1$ 这一点是否有定义，是无关的。 自变量趋于一点时函数极限的概念： 设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的邻域内 (点$x_0$可以除外) 有定义，当$x$无限地趋近于$x_0（x\neq x_0）$时，函数$f(x)$无限地接近于某一个常数A，则称当$x \to x_0$时，函数$f(x)$的极限是$A$，记作： 上面所说的 注意：在讨论$x \to x_0$ 这类极限过程时不必考虑$f(x)$在$x=x_0$有无定义。只考虑$x$无限接近$x_0$时，$f(x)$变化趋势即可。 同样，可以给出单侧极限的定义： 当自变量$x$从$x_0$的左侧（或右侧）趋近于$x_0$时，函数$f(x)$无限地接近于某一个常数A，则称A为$f(x)$在点$x_0$处的左极限（或右极限），记作： 于是，我们把函数的左极限与右极限统称为单侧极限。 极限$\lim_{x \to x_0}f(x) = A$的充要条件是： 这个充要条件非常重要，经常用于判断我们分段函数，在分点处的极限情况。 例子：函数$$f(x) = \begin{cases}
x+2, & x\leq0 \\
0, & x=0 \\
x-2, & x>0\end{cases}$$ 试判断 $\lim_{x \to 0}f(x)$是否存在。 那么我们就可以运用充要条件，考虑它的左右极限的情况是否存在，存在又是否相等。 解： 当$x$从左侧趋近于0时，$f(x)=x+2$，因此它的极限存在，且为2，即： 当$x$从右侧趋近于0时，$f(x)=x-2$，因此它的极限存在，且为-2，即： 因为左右极限存在但不相等，所以$\lim_{x\to0}f(x)$不存在。 课堂练习： 【选择题】已知函数为 $$f(x) = \begin{cases}
x^3, & x\neq0 \\
1, & x=0\end{cases}$$，那么$\lim_{x \to 0}f(x)=$（ ）。 A. 1 B. 0 C. 不存在 D. 1或0 正确答案：B 例子：设$$f(x) = \begin{cases}
e^x, & x\gt0 \\
k, & x\lt0\end{cases}$$，问当$k$为何值时，极限$\lim_{x\to0}f(x)$存在？并求$\lim_{x\to0}f(x)$。 这道题是已知$x\to0$时，$f(x)$的极限是存在的。那么根据充要条件，它的左极限和右极限都是存在并且相等的，因此，我们可以根据这个充要条件把$k$值求出来。$k$值求完之后，再把极限值求出来。 解： 因为当$x$趋近于0时，$f(x)$的极限是存在的。根据充要条件，它的左极限和它的右极限应该是相等的。因此，要使极限$\lim_{x\to0}$存在，必须有 所以当$k=1$，$\lim_{x\to0}f(x)=1$。 通过观察，这个分段函数在$x=0$处是没有定义的。但是对题目的极限值是没有影响的。 注意： 分段函数分点处的极限，要分别求左极限和右极限。证明函数极限不存在的方法是: 可以说微积分的产生就是从无穷小开始的。理解好无穷小量的概念。可以帮助我们更好的理解微积分中许多其他的概念。 无穷小量是一个消失中的量。- （德）莱布尼茨 定义：若函数 $y=f(x)$ 在 自变量 $x$ 的某个变化过程 中以零为极限，则称函数 $f(x)$ 为在该变化中的无穷小量。简称无穷小。 例子： 当$x\to0$时，$sinx\to0$，称 $sinx$ 为 $x\to0$ 时的无穷小。 当$x\to\infty$时，$\frac{1}{x}\to0$，称$\frac{1}{x}$为$x\to\infty$时的无穷小。 注意： 无穷小是一个函数（变量），并非指一个非常小的数。所以$10^{-10}$不是无穷小。 常数中只有零是无穷小，因为0在任何情况下，它的极限都是0。 无穷小与 白变量的变化趋势 密切相关。我们不能抛开 自变量的变化趋势，而单纯的说某一个函数就是无穷小。 如：当$x\to1$时，$x^2-1\to0$。但是当$x\to2$时，$x^2-1\to3$，此时它就不是无穷小。 课堂练习： 【判断题】无穷小是指一个很小很小的数？ A. 对 B. 错 正确答案：B ①有限个无穷小的 代数和 是无穷小。 注意：前提是 有限个 无穷小的条件下。如果将有限改成无限，即：无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小。 例：$n\to\infty$时，$\frac{1}{n}$是无穷小。 但 $\lim_{n\to\infty}(\frac{1}{n}+\frac{1}{n}+...+\frac{1}{n})=lim_{n\to\infty}n\cdot\frac{1}{n}=1$ ，不是无穷小。 ②有限个无穷小量的积是无穷小量。 例：$\lim_{x\to0}xsin3x=\lim_{x\to0}x\cdot\lim_{x\to0}sin3x=0$ ③有界变量与无穷小量的积是无穷小量。 例：求极限$\lim_{x\to0}xsin\frac{1}{x}$。 解：由于$|sin\frac{1}{x}|\leq1$，即$sin\frac{1}{x}$是有界变量，有$\lim_{x\to0}{x}=0$，所以$x$是$x\to0$时的无穷小量，由性质3可得：$\lim_{x\to0}xsin\frac{1}{x}=0$ 推论：常数与无穷小的乘积仍是无穷小。 例： 通过刚才的几个性质，我们得到了：无穷小的和、差、积都仍然是无穷小。 注意：两个无穷小的商不一定是无穷小。 例： 两个无穷小的商，我们通常称为未定式： 小结： 若我们不保护环境，全球沙漠化越来越严重，随着时间$t\to\infty$的变化，沙粒数量$n \to \infty$。 若我们花费无穷的时间去学习，那么我们大家的潜能都是无穷的，学习时间$t\to\infty$，潜能$x\to\infty$。 定义：若函数 $y=f(x)$ 在 自变量 $x$ 的某个变化过程 中，$|f(x)|$ 无限增大，则称函数 $f(x)$ 为在该变化中的无穷大量。简称无穷大。记作: $\lim{f(x)}=\infty$。 特殊的： 例： 1、当 $x\to0$ 时，$\frac{1}{x^3}\to\infty$，称 $\frac{1}{x^3}$ 为 $x \to 0$ 时的无穷大。 2、当 $x \to \infty$ 时，$x^2\to\infty$，称 $x^2$ 为 $x\to\infty$ 时的正无穷。 注意： 1、无穷大是一个函数（变量）。而不是指一个非常大的数字，如 $10^{10}$ 不是无穷大。 2、函数的极限是无穷，我们可以用$\lim f(x)=\infty$ 来表示，它只是一个记号，是极限不存在的情况。 3、无穷大与 自变量的变化趋势密切 相关。我们不能够抛开 自变量的变化趋势 而单纯的说某一个函数是无穷大。 当$x\to+\infty$时，$e^x\to+\infty$ 例1: 自变量在怎样的过程中，下列函数是无穷大? (1) $y=2x-1$ 当$x\to+\infty$时，$y\to\infty$是无穷大。 (2) $y=e^x$ 当$x\to+\infty$时，$y\to+\infty$是无穷大。 (3) $y=lnx$ 当$x\to+\infty$时，$y\to+\infty$是无穷大。 当$x\to0^+$时，$y\to-\infty$也是无穷大。 1、无穷大加 上一个常数 等于无穷大。 猜想：$\infty + \infty = \infty$ ? $\infty - \infty = 0$ ? 从$\lim_{x\to\infty}[x+(-x)]=0$，可以发现$\infty + \infty \neq \infty$ 从$\lim_{x\to\infty}[x-(-x)]=\infty$，可以发现$\infty - \infty = \infty$ 从两个式子可以发现刚刚的猜想是错误的。 那么$\infty\pm\infty$，$\frac{\infty}{\infty}$ 统称为未定式 无穷大量与无穷小量关系 定理：在 自变量的同一变化过程 中，如果 $f(x)$ 为无穷大，则 $\frac{1}{f(x)}$ 为无穷小； 反之，如果 $f(x)$ 为无穷小，且$f(x) \neq 0$，则 $\frac{1}{f(x)}$ 为无穷大。 注：关于无穷大的讨论，可以考虑归结为关于无穷小的讨论。 课堂练习： 【判断题】无穷大的倒数是无穷小。 A、对 B、错 正确答案：B 无穷大的倒数是无穷小：有个前提，恒不为0的无穷小量的倒数，才是无穷大。 如果某个无穷小，恒为0，或在任何去心领域内都有无数个点使得函数值为0，那么其倒数就不是无穷大。例如$f(x)=x sin(\frac{1}{x})$，在 $x \to 0$ 的时候，是无穷小，但是$\frac{1}{f(x)}=\frac{1}{xsin(\frac{1}{x})}$，在$x \to 0$的时候，无限极，不是$\infty$。 例：求$\lim_{x\to1}\frac{1}{x-1}$。 解：因为$\lim_{x\to1}(x-1)=0$，所以，由无穷小与无穷大的关系，$\lim_{x\to1}\frac{1}{x-1} = \infty$。 小结： 在前面的学习当中，我们知道，两个无穷小的和、差、积都仍然是无穷小。两个无穷小的商则不同。 例：当$x\to1$，$x^2-1 \to 0$，$(x-1)^2 \to 0$。 而将分子分母对调后 可以看出两个无穷小的商，可能是一个无穷小，也可能是一个无穷大。这是因为无穷小趋于零的速度是不同的。 我们把上面式子的分子、分母列成如下表格进行对比： 可见 $(x-1)^2$ 要比 $x^2 - 1$ 趋于零的速度快。 设$\alpha$、$\beta$ 是在自变量的同一变化过程中的无穷小量。 变得快的是高阶，变得慢的是低阶。 课堂练习： 【判断题】无穷小量的阶反映了无穷小量趋于0的快慢程度。 A、对 B、错 正确答案：A 例：当$x\to0$时，比较无穷小$3x$、$x^2$、$x$与$sinx$的阶。 因为$\lim_{x\to0}\frac{x^2}{3x}=0$，所以 $x^2$ 是 $3x$ 的高阶无穷小。 因为$\lim_{x\to0}\frac{3x}{x^2}=\infty$，所以 $3x$ 是 $x^2$ 的低阶无穷小。 因为$\lim_{x\to0}\frac{sinx}{3x}=\frac{1}{3}$，所以 $sinx$ 是 $3x$ 的同阶无穷小。 因为$lim_{x\to0}\frac{sinx}{x}=1$，所以 $sinx$ 是 $x$ 的等价无穷小。 设$\alpha$、$\alpha’$、$\beta$、$\beta’$ 为同一变化过程中的无穷小量，且$\alpha$和$\alpha'$是等价无穷小：$\alpha \sim \alpha'$，且$\beta$和$\beta'$是等价无穷小：$\beta \sim \beta'$，且$\lim\frac{\alpha'}{\beta'}$存在，则有$\lim\frac{\alpha}{\beta}=\lim\frac{\alpha'}{\beta'}$。 在这个定理告诉我们，如果想要 求两个无穷小量比值的极限，我们只需要将它的分子分母都替代成它等价的无穷小 就可以了。 在这里，介绍一下常用的等价无穷小： 当$x\to0$时： 这些等价无穷小不是任意情况都可以使用，一定要注意它们的前提条件是$x\to0$时。 例：求$\lim_{x\to0}\frac{tan 2x}{sin 3x}$。 解：当$x\to0$时，$\tan 2x \sim 2x$，$\sin 3x \sim 3x$，所以$\lim_{x\to0}\frac{tan 2x}{sin3x}=\lim_{x\to0}\frac{2x}{3x}=\frac{2}{3}$。 例：求$\lim_{x\to0}\frac{x\sin x}{1-cosx}$。 解：当$x\to0$时，$sin x \sim x$，$1 - \cos x \sim \frac{1}{2}x^2$，所以$\lim_{x\to0}\frac{x \sin x}{1-\cos x}=\lim_{x\to0}\frac{x \cdot x}{\frac{1}{2}x^2}=2\lim_{x\to0}\frac{x^2}{x^2}=2$ 注意：等价代换是对分子或分母的整体进行替换，积商可以部分代换，和差只能总体代换。 例：求$\lim_{x\to0}\frac{\tan x - \sin x}{x^3}$。 错解：当$x\to0$时，$\tan x \sim x$，$\sin x \sim x$ ，$\lim_{x\to0}\frac{\tan x - \sin x}{x^3} = \lim_{x\to0}\frac{x-x}{x^3}$ 这是错误的。错误的原因是，此时的分子是一个差式的样式，我们是不能够进行部分代换的。 正解：当$x\to0$时，$\tan x - \sin x=\tan x(1-\cos x) \sim \frac{1}{2}x^3$，$\lim_{x\to0}\frac{\tan x - \sin x}{x^3}=\lim_{x\to0}\frac{\frac{1}{2}x^3}{x^3}=\frac{1}{2}$。 由此可见，等价无穷小方便我们的计算。但是在使用等价无穷小的时候，一定要注意它的使用条件。 思考：任何两个无穷小都可以比较吗？不能 例：当$x\to+\infty$时，$f(x)=\frac{1}{x}$与$g(x)=\frac{\sin x}{x}$都是无穷小。 但$\lim_{x\to+\infty}\frac{g(x)}{f(x)}=\lim_{x\to+\infty}\sin x$不存在且不为无穷大，所以，当$x\to+\infty$时，$f(x)$与$g(x)$不能比较。 小结： 要使用极限的四则运算法则，有一个非常重要的前提条件：在自变量的同一变化过程中，函数$f(x)$和$g(x)$的极限是分别存在的，标记为$\lim f(x)=A$，$\lim g(x)=B$，则有 推论：有限个有极限的变量之代数和的极限等于它们的极限的代数和。 例： 求$\lim_{x\to1}(x^2-1)$。 解：$\lim_{x\to1} (x^2-1)= \lim_{x\to1}x^2-\lim_{x\to1}1 \\ = 1 - 1 = 0$ 极限的乘法法则与加减法则强调的方法是类似的。 推论1：$\lim[Cf(x)]=C\lim f(x)=CA$ 推论2：有限个 有极限的变量 的乘积的极限等于它们各自的极限的乘积。 推论3：如果$\lim f(x)$存在，$n$是正整数，则$\lim[f(x)]^n=[\lim f(x)]^n$ 课堂练习： 【判断题】若已知$\lim_{x\to\infty}f_i(x)$（其中i=1,2,L,10000）都存在，则$\lim_{x\to\infty}\sum^{10000}_{i=1}f_i(x)$也存在。 A. 对 B. 错 正确答案：A 如果我们想要计算$f(x)$除$g(x)$的极限值，则它的极限值，可以转换成两个函数各自极限的商。也就是$\lim f(x)$除以$\lim g(x)$。该法则有一个单独的使用条件，就是分母的极限不为零。 例：求 $\lim_{x\to2}\frac{2x^2+x}{x+1}$。 需要初步验证一下，分母对应的极限值是否为0，如果分母极限不为零的话，我们可以尝试着把它代到除法法则。 解：$\lim_{x\to2}\frac{2x^2+x}{x+1}=\frac{\lim_{x\to2}(2x^2+x)}{\lim_{x\to2}(x+1)}=\frac{\lim_{x\to2}2x^2+\lim_{x\to2}x}{\lim_{x\to2}x+\lim_{x\to2}1}=\frac{8+2}{2+1}=\frac{10}{3}$ 例：求 $\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}$ 解：当$x\to2$时，分母的极限是0，不能直接运用极限运算除法法则。 上面的例题，我们观察一下它的特征，当$x \to 2$ 时，这个分式，它的分子是趋向于0的。我们说一个分式如果只有分子趋向于0的，则整个分式也趋向于0。 我们再来观察一下分母，当$x \to 2$ 时，这个分式，它的分母是趋向于0的。我们说一个分式如果只有分母趋向于0的，则整个分式也趋向于$\infty$。 因此分子分母就像在拔河一样。谁胜利是不知道的，因此对于这样的结构，当它的分子分母都趋向于0时，我们把这样的表达式称为0比0型的表达式。 在求极限时，经常会遇到分子分母的极限均为0的情形，我们把它称为”$\frac{0}{0}$“型的未定式。 我们要做的是先验证是否为”$\frac{0}{0}$“型，如果是则尝试化简。看是否能化简成能使用极限运算法则的形式。 0比0型的未定式是没办法直接使用极限的四则运算法则的。 在上方的例子中，可以总结为两个主要的步骤： 例：求 $\lim_{x\to3}\frac{x^2-x-6}{x^2+x-12}$ 解：$\lim_{x\to3}\frac{x^2-x-6}{x^2+x-12}\\=\lim_{x\to3}\frac{(x-3)(x+2)}{(x-3)(x+4)}\\=\lim_{x\to3}\frac{x+2}{x+4}$ 可以从题目中看到，当$x\to3$时，分子分母分别趋向于0，很明显，这是一个$\frac{0}{0}$型的未定式。是不能直接使用极限的四项运算法则的。所以需要进行第二个步骤化简。 课堂练习： 【单选题】极限$\lim_{x\to4}\frac{x^2+5x+4}{x-4}=()$ A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 正确答案：B 例：求 $\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1-x}-1}{x}$ 解：因为$\lim_{x\to0}x=0$，所以不能直接应用除法法则。由于根式的存在，因此可以选择先将分子有理化。 这是一个$\frac{0}{0}$型的未定式。 小结： 在求极限时，经常会遇到分子分母的极限均为 $\infty$ 的情形，我们把它称为“$\frac{\infty}{\infty}$”型的未定式。 如果要计算 $\infty$ 比 $\infty$型未定式当中分子分母都是多项式的话，记住一种方法即可。 找出式子中的最高次幂，让整个式子的每一项都除以该最高次幂。 例：求 $\lim_{x\to\infty}\frac{x^2+x+1}{2x^3+x}$。 解：我们首先需要找到整个分式的最高次幂，然后对这个分式的分子分母所有的项同时除以最高次幂即$x^3$。 例：求$\lim_{x\to\infty}\frac{x^2+x+1}{2x^2+x}$。 解：分子、分母同时除以$x^2$得 例：求$\lim_{x\to\infty}\frac{4x^5+x^3-3}{2x^2+1}$。 解：分子、分母同时除以 $x^5$ 得 课堂练习： 【判断题】$\lim_{x\to\infty}\frac{6x^3+x^2-1}{2x^3-6x+7}=\frac{1}{3}$。 A. 对 B. 错 正确答案：B 结论： 一般有如下结果： 第一个特征：分子分母都是多项式 第二个特征：这是 $\infty$ 比 $\infty$ 的未定式。 结论一共有三种情况，如何记忆？只需要记忆一个因素，查看最高次幂在哪里。 第一重要极限： 对 $x$ 任取一系列趋近于零的数值时，经计算可得函数$f(x)=\frac{sin x}{x}$的对应值，如表： 从上表和上图可以看出，当 $x$ 无限趋近于零时，函数$f(x)=\frac{\sin x}{x}$的值无限趋近于数值1。 第一重要极限公式 $\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$ 是$\frac{0}{0}$型未定式。 隐含的结构：$\lim_{[ ]\to0}\frac{\sin[ ]}{[ ]}=1$，方括号[]代表同一变量。 如果三个位置相同，而且变量是趋向于零的则第一重要极限是生效的。 例：求$\lim_{x\to0}\frac{\sin kx}{x}$ $(k\neq0)$。 解：$\lim_{x\to0}\frac{sinkx}{x}\\=\lim_{x\to0}\frac{\sin kx}{kx}\cdot k\\=k\cdot\lim_{kx\to0}\frac{\sin kx}{kx}\\=k$ 对于这道题来说，可以发现它与第一重要极限非常相似，所以，如果想要计算这道题，目标就是希望使用第一重要极限来处理它。 首先分子 $\sin kx$ 作为一个整体是不能动的。 为了与第一重要极限靠近，则我们需要处理其它两个位置的结构。 而且为了保持原式大小不变，需要对整个式子进行等价处理，即需要乘上$k$。那么这个$k$作为常数项，根据推论，可以将其提到外边去。 因为当$x\to0$时，我们很容易得到 $kx \to 0$。所以，也可以做等价替换。 于是式子就变得很像第一重要极限了。 例：求$\lim_{x\to0}\frac{\sin 3x}{\sin 7x}$。 解：$\lim_{x\to0}\frac{\sin 3x}{\sin 7x}\\\\=\lim_{x\to0}\frac{\frac{\sin3x}{3x}\cdot 3x}{\frac{\sin7x}{7x}\cdot 7x}\\=\frac{3}{7}$ 第三步的分母和分子都与第一重要极限长得很像。 例：求$\lim_{x\to0}\frac{\tan 2x}{\sin 3x}$。 解：$$
\begin{align}
\lim_{x\to0}\frac{\tan 2x}{\sin 3x}&=\lim_{x\to0}(\frac{\sin 2x}{\cos 2x}\cdot\frac{1}{\sin 3x})\\
&=\lim_{x\to0}(\frac{\sin 2x}{\cos 2x}\cdot\frac{1}{\sin3x}\cdot\frac{2}{2}\cdot\frac{3}{3}\cdot\frac{x}{x})\\
&=\lim_{x\to0}(\frac{\sin 2x}{2x}\cdot\frac{3x}{\sin3x}\cdot\frac{2}{3\cos2x})\\
&=1\cdot1\cdot\frac{2}{3}\\
&=\frac{2}{3}
\end{align}
$$ 其中当$x\to0$时，$\cos 2x$ 是趋近于1的。（可画图查看） 课堂练习： 【判断题】$\lim_{x\to0}\frac{\sin 5x}{2x}=\frac{2}{5}$。 A. 对 B. 错 正确答案：B 第二重要极限公式： 当$x\to-\infty$和当$x\to+\infty$时，函数$f(x)=(1+\frac{1}{x})^x$的对应值的变化如下表所示： 第二重要极限公式还有其它的等价结构： 式中，作变换$u=\frac{1}{x}$，则当$x\to\infty$时，$u\to0$ 于是得到$\lim_{u\to0}(1+u)^\frac{1}{u}=e$ 一般地，上面的结果可以推广为： 或 当$x\to\infty$时，$\frac{1}{x}$是趋近于0的，且$x$次幂趋向于 $\infty$ 。 当$x\to 0$时，$u$ 趋向于0，$\frac{1}{u}$趋向于$\infty$ 。 例：求 $\lim_{x\to\infty}(1+\frac{3}{x})^x$ 解：$\lim_{x\to\infty}(1+\frac{3}{x})^x\\=\lim_{x\to\infty}(1+\frac{3}{x})^{\frac{x}{3}\cdot 3}\\=\lim_{x\to\infty}[(1+\frac{3}{x})^\frac{x}{3}]^3\\=e^3$ 课堂练习： 【判断题】函数$y=f(x)$在点$x_0$处可导的充要条件是$y=f(x)$在该点处的左导数和右导数都存在且相等。 A. 对 B. 错 正确答案: A 在之前的内容，我们已经学习了几种极限的运算方法： 一、极限四则运算法则 ①验证运算法则的前提条件 ②如果满足则化简，如果遇到$\frac{0}{0}$、$\frac{\infty}{\infty}$则对函数极限化简，我们可以对分式进行约分，也可以对根式进行根式有理化。在$\frac{\infty}{\infty}$型未定式的处理，我们还可以对分式的分子分母同时除以最高次幂的运算方法。 二、两个重要极限 ①验证重要极限的前提条件，如果满足则代入公式就可以了 ②使用公式 三、无穷小 ①验证等价无穷小：如果满足等价无穷小的特征，我们可以利用等价无穷小的替换进行直接的计算。 下面举个例子，来比较一下它们之间的区别。 例：求 $\lim_{x\to2}\frac{x-1}{x^2+x-6}$。 解：$\lim_{x\to2}\frac{x-1}{x^2+x-6}\\=\lim_{x\to2 }\frac{x-1}{(x-2)(x+3)}\\=\infty$ 由于$x-1\to1$、$(x-2)(x+3)\to0$, 则不满足极限运算除法法则。 利用无穷小的性质，无穷小的倒数应该是无穷大。 例：求 $\lim_{x\to1}\frac{x-1}{x^2+4x-5}$。 解：$\lim_{x\to1}\frac{x-1}{x^2+4x-5}\\=\lim_{x\to1}\frac{x-1}{(x-1)(x+5)}\\=\lim_{x\to1}\frac{1}{(x+5)}\\=\frac{1}{6}$ 验证的结论对方法的选择是非常重要的。 例：下列极限正确的是（） A. $\lim_{x\to\infty}x\sin\frac{1}{x}=1$ B. $\lim_{x\to0}x\sin\frac{1}{x}=1$ C. $\lim_{x\to\infty}\frac{\sin x}{x}=1$ D. $\lim_{x\to0}\frac{\sin 2x}{x}=1$ 正确答案：A A的解：首先，回顾一下“第一重要极限”： 现在，我们来看问题： B的解：$\lim_{x\to0}x\sin\frac{1}{x}=1$的结构和选项A非常相似，很容易用到的方法还是第一重要极限。但是，我们把$x\to0$代入以后，我们会发现，$\frac{1}{x}\to\infty$，这就说明它并不满足第一重要极限的前提条件。因此验证的结果，排除掉该选择第一重要极限解决的方法。所以，我们可以选择其它方法来进行计算。当$x\to0$时，$\sin\frac{1}{x}$中的$\frac{1}{x}\to\infty$的，因此$\sin\frac{1}{x}$实际上是在1和-1两点之间反复波动的函数。因此没有固定的极限，它是有界函数。我们可以选择无穷小的性质：有界变量与无穷小量的积是无穷小量。 来进行计算。 C的解：要解决$\lim_{x\to\infty}\frac{\sin x}{x}=1$，我们的直觉第一印象是：第一重要极限的结构。但是最重要的前提条件是${x\to\infty}$ 是不满足第一重要极限的，因此不能使用第一重要极限，如果我们把${x\to\infty}$ 代入到式子中$\frac{1}{x}\to0$ 也就是，这是一个无穷小量，而$\sin x$是一个有界函数因此，利用无穷小的性质，它的特征与第二个选项式一样的，结论仍然是无穷小量。 D的解：$\lim_{x\to0}\frac{\sin 2x}{x}=1$满足第一重要极限的，可以使用第一重要极限。因此在分子分母都要乘上2，最终的结论应该等于2，而不是1。 改变量的概念： 在介绍连续性的概念之前我们先回顾一个概念，就是改变量和增量。 设变量$x$从它的初值 $x_0$ 改变到终值 $x_1$ ，终值与初值之差 $x_1-x_0$ 称为自变量 $x$ 的改变量，记作$\Delta x=x_1-x_0$。 如果 $x$ 是自变量时，我们说当 $x$ 改变时，函数值 $y$ 也会跟着发生改变。 对函数 $y=f(x)$ ，当自变量 $x$ 从 $x_0$ 改变到 $x_0+\Delta x$ 时，函数$f(x)$ 相应地从$f(x_0)$变到$f(x_0+\Delta x)$，称$f(x_0+\Delta x) - f(x_0)$为函数$f(x)$在$x_0$处的改变量，记作$\Delta y$，即 连续的概念： 定义：设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的某领域内有定义，如果自变量 $x$ 在 $x_0$ 处取得的改变量 $\Delta x$ 趋近于零时，函数相应的改变量 $\Delta y$ 也趋近于零，即 则称函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续。点 $x_0$ 称为函数的连续点。 如果函数 $y=f(x)$ 在开区间 $(a, b)$ 内每一点都连续，则称函数 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内连续； 这时，区间 $(a, b)$ 称为函数 $f(x)$ 的连续区间。 另一种定义： 设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的某领域内有定义，如果当 $x \to x_0$ 时，函数 $f(x)$ 的极限存在，且 则称函数 $y=f(x)$ 在$x_0$处连续。 函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续，必须同时满足下列三个条件： 如果同时满足以上的三个条件则我们可以给出结论说明函数在$x_0$点处是连续的。如果这三个条件里面，有任意一个条件不满足，则我们也可以说明函数在$x_0$处是不连续的。 例：函数$f(x)=\begin{cases} 解： ①$f(1)=1$ 左极限：$\lim_{x\to1^-}f(x)=\lim_{x\to1^-}(2-x)=1$ 右极限：$\lim_{x\to1^+}f(x)=\lim_{x\to1^+}x^2=1$ ②且$\lim_{x\to1^-}f(x)=\lim_{x\to1^+}f(x)=\lim_{x\to1^+}x^2=1$，因此$\lim_{x \to x_0}f(x)$是存在的。 根据且①等于②，因此函数$f(x)$ 在$x=1$处连续。 课堂练习： 【单选题】设函数$y=f(x)$在点$x_0$处连续，且$\lim_{x \to x_0^+}f(x)=3$，则$f(x_0)$ = ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 不存在 正确答案：D 函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续，必须同时满足下列三个条件： 如果上述三个条件中至少有一个不满足，则函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处不连续。此时，称函数$f(x)$ 在 $x_0$ 点间断，点 $x_0$ 称为函数 $f(x)$ 的间断点。 如果左右极限相等且为无穷大，那么这个点是无穷间断点。 例：观察函数 $y=\frac{1}{x}$ 在 $x=0$ 处是否间断。 分析： 函数$y=\frac{1}{x}$ 在$x=0$处无定义， 所以$x=0$是函数$y=\frac{1}{x}$的间断点。 又因为$\lim_{x\to0}\frac{1}{x}=\infty$，我们称$x=0$ 为函数$y=\frac{1}{x}$的 无穷间断点。 如图： 如果函数在某点的左极限和右极限都存在，但它们不相等，那么这个点称为跳跃间断点。 例：设有函数$f(x)=\begin{cases}x-1,&x\lt0\\0,&x=0\\x+1, & x\gt0\end{cases}$，讨论$x=0$是否为间断点。 分析：因为 因为 $\lim_{x \to 0^-} f(x)\neq\lim_{x \to 0^+} f(x)$，故 $\lim_{x \to 0} f(x)$ 不存在。 所以$x=0$为函数的间断点。 因函数的图像在 $x=0$ 处产生了一个跳跃，我们称$x=0$为该函数跳跃间断点。 定义：如果函数在某点的左极限和右极限都存在且相等，但是函数在该点没有定义（比如分母为零的情况），那么通过引入一个适当的定义可以使函数在该点连续，这样的点称为可去间断点。 例：观察函数$f(x)=\frac{1-x^2}{1-x}$在$x=1$处是否间断。 分析：函数$f(x)=\frac{1-x^2}{1-x}$在$x=1$处没有定义，所以$x=1$是$f(x)$的间断点。 如果补充假定$f(1)=2$，则所给函数在$x=1$处就连续了。 所以称$x=1$为该函数的可去间断点。 课堂练习： 【单选题】已知$f(x)=\frac{x-3}{x^2-2x-3}$，则$x=3$是$f(x)$的（） A. 连续点 B. 跳跃间断点 C. 可去间断点 D. 无穷间断点 正确答案：C 设$x_0$为$f(x)$的间断点，如果左极限$\lim_{x \to x_0^-}f(x)$与右极限$\lim_{x \to x_0^+} f(x)$ 均存在，则称$x_0$为函数$f(x)$的第一类间断点。 若$\lim_{x \to x_0^-}f(x)=\lim_{x \to x_0^+} f(x)$，即极限$\lim_{x \to x_0} f(x)$存在，则称间断点$x_0$为$f(x)$的可去间断点； 若$\lim_{x \to x_0^-}f(x)\neq\lim_{x \to x_0^+} f(x)$则称间断点$x_0$为$f(x)$的跳跃间断点。 所有非第一类间断点的类型，我们都可以归为第二类间断点。 左极限$\lim_{x \to x_0^-}f(x)$与右极限$\lim_{x \to x_0^+} f(x)$ 至少有一个不存在的间断点，称为第二类间断点。 其中，若$\lim_{x \to x_0} f(x)=\infty$，则称间断点$x_0$为$f(x)$的无穷间断点。 一物体作变速直线运动，路程$S$是关于时间$t$的函数$s=s(t)$，求物体在$t_0$时刻的瞬时速度$v(t_0)$。 大家还记得平均速度的求法吗？ 但是我们要求$t_0$时刻的瞬时速度。时间 $t_0$ 算不上时间段，怎么办？ 当我们取得路程长度越短，此时算出来的平均速度就和瞬时速度更为接近。当这两个时刻距离近到极限的时候，此时该段时刻的平均速度记为该点的瞬时速度。 两个时刻趋向于一个时刻，那么时刻产生的增量$\Delta t$趋近于0，所以我们只需要求出$\frac{\Delta s}{\Delta t}$在${\Delta t}$ 趋于0的极限，记为$t_0$时刻的瞬时速度。 曲线在$x=x_0$点处的切线分析： 以前我们学过圆的切线，切线如果跟圆直接存在切线关系，那么切点只能有一个。而且切线如果存在，切线是唯一的。 因为从图像上来看，$x=x_0$这点其函数值是不存在的。那么这时候没有切线，在$x=x_0$处是不存在无切线的。 在$x=x_0$处，是一个尖点，尖点存在切线吗？我们说切线如果存在，切线是唯一的，切线跟曲线只有一个交点。如图所示，此尖点做有一个交点的直线有无数条。所以，此尖点处不存在切线，在$x=x_0$处是不存在切线的。 由上面的两种情况可知， 如果在该点处是没有意义的，它肯定没有切线 如果其图像是尖点也肯定没有切线。 如果在一点处存在切线，则要求图像在该点处是光滑的、圆滑的连续曲线。 首先我们在$M$点附近找到一点$N$，做割线$MN$，也就是用$l_2$来进行表示。我们按住$M$点不动，让$N$沿着曲线向$M$点进行移动。那么$l2$这条直线也随之转动，当$MN$这两点的距离近到极限时，所确定的直线记为切线。所以图像上的函数，在$x=x_0$中存在着切线$l_1$。 例 设曲线$C$是$y=f(x)$的图形，求曲线$C$在$M(x_0,y_0)$处的切线的斜率。 其中$y=f(x)$是一条光滑的、圆滑的连续曲线，$M$点的横坐标为$x_0$，在$M$点附近找到一点$N$，过$MN$做割线，$MN$所产生横坐标的增量为$\Delta x$，那么$N$点的横坐标为$x_0 + \Delta x$，$M$点对应的纵坐标对应的是$f(x_0)$，$N$点对应的纵坐标为$f(x_0+\Delta x)$。那么割线$MN$与$x$轴的夹角用$\alpha$来表示。 根据两点所确定的直线，割线$MN$的斜率为 此时我们按住$M$点不动，让$N$点沿着曲线向$M$点移动，但两点距离近到极限时，所确定的直线为点$M$切线。切线与$x$轴的夹角为$\beta$，那么切线$MP$斜率为 那么$M$、$N$两点距离近到极限时，$M$、$N$两点自变量的增量趋向于0。 课堂练习： 【判断题】若函数$y=f(x)$ 在一点处存在切线，则$y=f(x)$在该点处的切线有无数条。 A. 对 B. 错 正确答案：B 引例1. 一物体作变速直线运动，路程$S$是关于时间$t$的函数$s=s(t)$，物体在$t_0$时刻的瞬时速度$v(t_0)$为 引例2. 曲线$C$是$y=f(x)$的图形，曲线$C$在$M(x_0, y_0)$点处的切线的斜率$k$为 可以看到这两个引例虽说没什么联系，但是数学结构是相同的。而我们实际问题中，有很多问题最后都可以归结为此数学结构的式子进行求解计算。那么具有此数学结构的式子，正是我们导数定义所研究的实质。 定义1 设函数$y=f(x)$在点$x_0$的某个领域内有意义，当自变量$x$在$x_0$处有增量$\Delta x(\Delta x \neq 0)$时，相应的$y$有增量$\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$，若极限： 存在，则称函数$y=f(x)$在点$x_0$处可导，并称此极限值为函数$f(x)$在点$x_0$处的导数。 函数$y=f(x)$在点$x_0$处的导数记为： 函数$y=f(x)$在点$x_0$处的导数表达式为 导数的表达式还可以写成什么样子呢？ 1、令$h=\Delta x$代入，得 2、令$x=x_0+\Delta x$代入， 因此，按照导数的定义，表达式有很多。大家要灵活的掌握。 若$\lim_{\Delta x \to 0^+}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0^+}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$存在，称该极限为函数$y=f(x)$在点$x_0$处的右导数，记作$f_{+}^{'}(x_0)$。 若$\lim_{\Delta x \to 0^-}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0^-}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$存在，称该极限为函数$y=f(x)$在点$x_0$处的左导数，记作$f_{-}^{'}(x_0)$。 定义2 设函数$y=f(x)$在区间$I$内的每一点都可导，就称函数$y=f(x)$在区间$I$内可导，对于区间$I$内每一点$x$，都有一个导数值$f'(x)$ 与之相对应，因此$f'(x)$也是$x$的函数，称其为$y=f(x)$的导函数。记为： 其表达式为： 根据导数定义，导数求导步骤： 1、求函数值增量：$\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)$ 2、求两增量的比值：$\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 3、求极限：$y'=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 例：求函数$f(x)=C(C为常数)$的导数。 解： （1） $\Delta y = f(x+\Delta x)-f(x)=C-C=0$ （2）$\frac{\Delta y}{\Delta x}=0$ （3）$y' = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0}0 =0$ 所以$(C)'=0$。 练习：已知$f(x)=x^2$，求$f'(x)$。 解： （1）$\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)\\=(x+\Delta x)^2-x^2\\=2x\Delta x+(\Delta x)^2$ （2）$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{2x\Delta x + (\Delta x)^2}{\Delta x}=2x+\Delta x$ （3）$y'=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}\\=\lim_{\Delta x\to0}(2x + \Delta x)\\=2x$ 所以$(x^2)'=2x$ 已知函数$y=f(x)$在 $x_0$ 点处可导。 在直角坐标系中，$y=f(x)$所确呈现的图像，为光滑的、圆滑的连续曲线。那么在$x=x_0$处用所对应图像用$x=M$点来表示，在$M$的附近找到$N$做割线$MN$，那么割线$MN$所确定的斜率为： 我们按住$M$点不动，将$N$点沿着曲线向$M$点进行移动，当$MN$距离近到极限状态时，此时所确定的直线为该点处的切线。那么$M$这点的切线斜率为： 而此极限根据导数的定义，它为函数在$x_0$这点处的导数。函数在该点处的导数记为该点处的切线斜率。那么根据这个几何意义，我们就可以求出其切线的方程和法线方程。 由直线的点斜式方程，曲线$y=f(x)$在点$M(x_0,y_0)$处的切线方程为： 在图像上的一点，它的法线和切线是垂直的关系，那么相互垂直的两条线斜率互为负倒数。 我们知道切线的斜率，也能知道法线的斜率。已知法线的斜率，又已知其过一点。我们可以写出法线方程。 由直线的点斜式方程，曲线$y=f(x)$在点$M(x_0, y_0)$处的法线方程为： 课堂练习： 【单选题】曲线$y=x^3$在点$(1,1)$处的切线的斜率为： A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 正确答案：B 例：求曲线$y=x^2$在点$(2,4)$处的切线方程与法线方程。 解：因为$y'=(x^2)'=2x$，所以$y'\bigg|_{x=2}=(2x)\bigg|_{x=2}=4$ 故所求切线方程为$y-4=4(x-2)$，所求法线方程为$y-4=-\frac{1}{4}(x-2)$ 注： 1、比值$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$反映的是$x$从$x_0$变化到$x_0+\Delta x$时，$y=f(x)$的平均变化速度，称为函数的平均变化率。 2、导数$f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$刻画的是函数$y=f(x)$在点$x_0$处变化的快慢程度，称为函数$y=f(x)$在点$x_0$处的变化率。 比如： 例一、路程关于时间$t$的变化率为速度，所以我们对路程进行求导则可以得到速度。 例二、速度关于时间$t$的变化率等于加速度，所以我们对速度关于时间$t$进行求导，则可以求出加速度。 例三、电量关于时间$t$进行求导即可以得出电流。 问题：函数$y=f(x)$在$x_0$点处可导，是否能说明函数$y=f(x)$在$x_0$点处连续？ 答：根据导数的几何意义，$f(x)$在$x_0$处可导，其在该点一定是存在切线斜率的，有切线斜率一定就有导数，有导数的地方一定是连续的。所以说函数$y=f(x)$在$x_0$点处可导，函数$y=f(x)$在$x_0$点处一定是连续的。 问题：函数$y=f(x)$在$x_0$点处连续，是否能说明函数$y=f(x)$在$x_0$点处可导？ 答：在$x=x_0$这点处，此图形为尖点，那么根据切线如果存在，切线只能有一条的原则，而此图形跟尖点处有一个交点的直线有无数多条。因此说明在$x=x_0$这一点上是没有切线的。没有切线也就没有切线斜率，也就没有导数。由此可以看出函数$y=f(x)$在$x_0$点处连续，函数$y=f(x)$在$x_0$点处并不一定可导。 例：$(2)'=0$ 注意：常函数特征无变量，不要看表面形式。 例： ① $(x^2)'=2x^{2-1}=2x$ ② $(x^\frac{1}{2})'=\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1}=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$ ③ $(x^{-3})'=-3x^{-3-1}=-3x^{-4}$ ④ $(\sqrt[3]{x^2})'=(x^{\frac{2}{3}})'=\frac{2}{3}x^{\frac{2}{3}-1}=\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}$ ⑤ $(\frac{1}{x^4})'=(x^{-4})'=-4x^{-4-1}=-4x^{-5}$ 例： ① $(2^x)'=2^x \ln 2$ ✔️ ② $(\frac{1}{2^x})'=(\frac{1^x}{2^x})'=[(\frac{1}{2})^x]'=(\frac{1}{2})^x\ln\frac{1}{2}$ ✔️ 特别地， 例： 特别地， 设函数$u(x)$和$v(x)$在点$x$处都是可导的，函数$u(x)\pm v(x)$在点$x$处也可导，则 例：求函数$y=e^x+\cos x-\ln 3+x^4$的导数。 解：$$
\begin{aligned}
y'&=(e^x+\cos x-\ln3+x^4)'
\\&=(e^x)'+(\cos x)'-(\ln 3)'+(x^4)'
\\&=e^x-\sin x-0+4x^3
\\&=e^x-\sin x+4x^3
\end{aligned}
$$ 例：求函数$y=\frac{1}{x^5}+\ln x-\arctan x$的导数。 解：$$
\begin{aligned}
y'&=(x^{-5})'+(\ln x) '-(\arctan x)'
\\&=-5x^{-6}+\frac{1}{x}-\frac{1}{1+x^2}
\end{aligned}
$$ 例：求函数$y=\tan 75°+\sqrt[3]{x}-5^x+\log_2x$的导数。 解：$$
\begin{aligned}
y'&=(\tan75°)’+(\sqrt[3]{x})'-(5^x)'+(\log_2{x})'
\\&=0+\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}-5^x\ln5+\frac{1}{x\ln2}
\\&=\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}-5^x\ln5+\frac{1}{x\ln2}
\end{aligned}
$$ 设函数$u(x)$和$v(x)$在点$x$处都是可导的，函数$u(x)v(x)$在点$x$处也可导，则： 特别地，令$v(x)=C(C为常数)$得： 其他： 例：求函数$y=x\ln x$的导数。 解：$y'=(x)'\ln x+x(\ln x)'\\=\ln x+x\cdot\frac{1}{x}\\=\ln x + 1$ 其中$(x)'\\=(x^1)'\\=1x^{1-1}=1$ 例：求函数$y=\sqrt{x}\sin x-4\arctan x+2e$的导数。 解：$$
\begin{aligned}
y'&=(\sqrt{x}\sin x)'-(4\arctan x)'+(2e)'
\\&=(\sqrt{x})'\sin x+ \sqrt{x}(\sin x)'-4(\arctan x)'+0
\\&=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}\sin x + \sqrt{x}\cos x - \frac{4}{1+x^2}
\end{aligned}
$$ 例：求函数$y=2^x\cdot x \cdot \cos x$的导数。 解1：$$
\begin{aligned}
y'&=(2^x\cdot(x\cos x))'
\\&=(2^x)'(x\cos x)+2^x(x\cos x)'
\\&=2^x\ln2(x\cos x)+2^x[(x)'\cos x + x(\cos x)']
\\&=2^x\ln2(x\cos x)+2^x(\cos x - x\sin x)
\end{aligned}
$$ 解2： 补充： 例：求函数 $y=x\cdot\sqrt{x}\cdot{\cos x}$ 的导数。 解： $$
\begin{aligned}
y'&=(x^\frac{3}{2}\cdot \cos x)'
\\&=(x^\frac{3}{2})'\cos x + x^\frac{3}{2}(\cos x)'
\\&=\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}\cos x-x^\frac{3}{2}\sin x
\end{aligned}
$$ 设函数 $u(x)$ 和$v(x)$在点$x$处都是可导的，函数$\frac{u(x)}{v(x)}(v(x)\neq0)$在点$x$处也可导，则： 例：求函数 $y=\frac{\sin x}{\cos x}$ 的导数。 解：$y'=\frac{(\sin x)'\cos x - \sin x (\cos x)'}{\cos^2x}\\=\frac{\cos^2 x - \ sin^2 {x}}{\cos^2 x}\\=\frac{1}{\cos^2 x}\\=\sec^2 x$ 设销售收入为 $R$，销售量为 $q$，销售时间 $t$。 销售收入关于销售量的函数关系为 $R=100\sqrt{q}$ 销售量关于销售时间的函数 $q=t^2+t$ 这样的话，销售收入就可以通过销售量得到一个关于销售时间的函数 $R=100\sqrt{t^2+t}$，那么这个函数$R$和$t$之间有两层函数关系，像这样的函数，我们就把它称作复合函数。 定义：设函数$y=f(u)$是关于$u$的函数，$u=\varphi(x)$是关于$x$的函数。如果$u=\varphi(x)$的值域与$y=f(u)$的定义域交集且非空，则 $y$ 通过 $u$ 构成 $x$ 的函数称为复合函数。记作： 从复合函数的复合结构来看，我们把 $\varphi$ 称作内层函数，而 $f$ 称为外层函数。 复合过程：首先由自变量 $x$ 通过对应法则 $\varphi$ 得到函数 $\varphi(x)$ 。然后让 $\varphi(x)$ 通过对应法则变为函数 $f[\varphi(x)]$，我们设为$y$，在这里 $u=\varphi(x)$ 起到桥梁的作用，我们把它叫做中间变量。 例：求由函数$y=\cos u$，$u=2x$复合而成的函数。 解：$u=2x$ 代入 $y=\cos u$ 得复合函数 $y=\cos 2x$。 由简单函数求复合函数：直接代入法。 注意：不是任意两个函数都可以写成复合函数。 例：$y=\arcsin u$ 与 $u=x^2 + 2$。 因为$y=\arcsin u$中的$u$的定义域为：$[-1,1]$ 因为$u=x^2+2$中的值域为：$[2,+\infty]$ 因此他们没有交集，不能复合到一起： 例：求由函数$y=\ln u$、$u=\sin v$、$v=2x+1$，复合而成的函数。 解： 将$v=2x+1$ 代入 $u=\sin v$ 得到 $u=\sin(2x+1)$ 将$u=\sin(2x+1)$ 代入到 $y=\ln u$ 得到 $y=\ln \sin(2x+1)$ 得复合函数：$y=\ln\sin(2x+1)$ 通过本例子，我们发现，从基本初等函数写成复合函数的过程，类似于我们玩俄罗斯套娃的过程。就是将若干个基本初等函数逐层的套入最终形成一个整体。 复合函数拆分的最终形式：只含有基本初等函数或简单函数。 简单函数：基本初等函数和常数经过四则运算得到的函数。 例如：$y=2x^2-1$ 拆分的关键：找准中间变量 和 去进行比较，可以发现$3x+4$占据了基本初等函数$x$的位置。那么自然的，我们就能想到将$u=3x+4$，$y=\sin u$。则可以发现 $\sin$ 为复合函数的外层函数，$3x+4$ 为内层函数，也就是我们要寻找的中间变量。 那么我们可以找到一个规律，就是：“谁占据了外层函数$x$的位置，谁就是中间变量。” 课堂练习： 【判断题】复合函数$y=\sqrt{2x+1}$的中间变量为$2x+1$ A. 对 B. 错 正确答案：A 例：写出函数$y=\tan \frac{x}{2}$的复合过程。 解：分析 $y=tan x$ 设中间变量为：$u=\frac{x}{2}$ ，得$y=\tan u$ 所以$y=\tan\frac{x}{2}$是由$y=\tan u$和$u=\frac{x}{2}$复合而成的。 如何检验，我们拆出来的结果是正确呢？我们可以分为两个步骤。 第一步：将拆出来的基本初等函数，用直接代入法写出复合函数。检查它和原式是否一致。 第二步：检验我们拆出来的每个函数是否只具有基本初等函数。如果仍含有复合函数的形式。那么我们就需要继续拆分。 例：写出函数$y=(5x+2)^3$的复合过程。 解：分析 $y=x^3$ 设中间变量得 $y=u^3$、$u=5x+2$ 所以 $y=(5x+2)^3$ 是由 $y=u^3$ 和 $u=5x+2$ 复合而成。 从函数结构上看 函数 $y=\tan \frac{x}{2}$ 是左右结构的，应该从左向右拆分。 函数$y=(5x+2)^3$ 是里外结构的，应该从外向里拆分。 例：分析函数$y=\ln\cos 3x^2$ 的复合过程。 解：分析$y=\ln x$ 设中间变量得 $y=\ln u$，$u=\cos 3x^2$ 所以 $u=\cos v$， $v=3x^2$ 所以，$y=\ln\cos3x^2$ 是由$y=\ln u$、$u=\cos v$ 和 $v=3x^2$ 复合而成的。 小结： 1、复合函数拆分关键是正确寻找中间变量。 2、复合函数拆分要彻底，结果不能含有复合函数。 3、拆分完要认真按步骤检验。 引例： 求 $y=\sin 2x$ 的导数。 验证：$$
\begin{aligned}
(\sin 2x)'&=(2\sin x \cos x)'
\\&=2(\sin x)'\cos x + 2 \sin x(\cos x)'
\\&=2\cos^2x-2\sin^2x
\\&=2\cos2x
\end{aligned}
$$ 定理：设函数$y=f(u)$在点$u$可导，函数$u=\varphi(x)$在点$x$可导。则复合函数$y=f[\varphi(x)]$在点$x$处也可导，且有 复合函数求导步骤： 也就是： 例1 求函数$y=\sin2x$的导数。 解： (1) 拆分 $y=\sin u，u=2x$ (2) 求导 $y'_u=\cos u，u'_x=2$ (3) 相乘 $y'_x=y'_u \cdot u'_x=\cos u \times 2=2\cdot \cos u$ (4) 回代 $y'_x=y'_u \cdot u'_x = 2\cos2x$ 例2 求函数$y=ln\cos x$的导数。 解：函数拆分 $y=\ln u，u=\cos x$。 课堂练习： 【判断题】符合函数$y=\cos 4x$ 的导数为 $-4 \sin 4x$。 拆分：$y=\cos u$ , $u=4x$ 求导：$y'_u=(\cos u)'=-\sin u$，$u'=4$ 相乘：$y'_u\cdot u'=-4\sin u$ 回代：$y'_u\cdot u'=-4\sin 4x$ A. 对 B. 错 正确答案：A 复合函数求导法则可以推广到多个中间变量的情形。 例如：函数$y=f(u)$、$u=\varphi(v)$、$v=\psi(x)$，均可导，则复合函数$y=f[\varphi(\psi(x))]$的导数为 例：求函数$y=\sin^3 2x$的导数。 解：函数拆分$y=u^3$，$u=\sin v$，$v=2x$ 例：求函数$y=e^{x^2}$的导数。 分析：复合函数求导熟练后，中间变量可以不必写出。 只需要 $u=x^2$ 记在心中即可。 解：$y'_x=e^{x^2}\cdot(x^2)'=e^{x^2}\cdot(2x)=2xe^{x^2}$ 由外向内，逐层求导， 1、复合函数求导是将复合函数拆分和求导公式综合运用的一个体现。
1.2.3 函数的周期性
1.2.4 有界函数
1.3 基本初等函数
1.3.1 常值函数
$$
y=C(常数), x\in(-\infty,+\infty)
$$
1.3.2 幂函数
$$
y=x^\alpha(\alpha常数)
$$
1.3.3 指数函数
$y=a^x（a常数,a>0,a\neq1）$,其定义域为$(-\infty, +\infty)$。
1.3.4 对数函数
$y=a^x（a常数，a>0，a\neq1）$的反函数称为对数函数。记为
$$
y=\log_{a}{x}（a常数,a>0,a\neq1）
$$
1.3.5 三角函数
1.3.5.1 正弦函数
1.3.5.2 余弦函数
1.3.5.3 正切函数
1.3.5.4 余切函数
1.3.5.5 反三角函数
1.3.5.5.1 反正弦函数
1.3.5.5.2 反余弦函数
1.3.5.5.3 反正切函数
1.3.5.5.4 反余切函数
第二章 极限
2.1 极限
n
1
2
3
…
29
30
2连续开方
1.1414213562
1.189207115
1.090507733
…
1.000000001
1
2.2 数列极限的概念：定义
2.3 自变量趋于无穷时函数极限的概念
2.4 函数极限定义的几何意义
2.5 自变量趋于一点时函数极限的概念
①证明左极限与右极限至少有一个不存在。
②或证明左极限和右极限均存在，但不相等。第三章 无穷小量与无穷大量
3.1 无穷小量
3.1.1 无穷小量概念
3.1.2 无穷小量性质
3.2 无穷大量
3.2.1 无穷大量概念
当$x\to-\infty$时，$e^x\to0$
3.2.2 无穷大的运算
2、无穷大乘以一个 非零常数 等于无穷大。
3.3 无穷小比较
x
2
1.5
1.1
1.01
1.001
…
$\to 1$
$(x-1)^2$
1
0.25
0.01
0.0001
0.000001
…
$\to 0$
$x^2 - 1$
3
1.25
0.21
0.0201
0.002001
…
$\to 0$
3.3.1 无穷小的阶
3.3.2 等价无穷小代换定理
$\sin x \sim x$
$\tan x \sim x$
$\arcsin x \sim x$
$1-\cos x \sim \frac{x^2}{2}$
$\sin ax \sim ax$
$\tan ax \sim ax$
$arcsin ax \sim ax$
$arctan x \sim x$
$e^x-1 \sim x$
$\ln (1+x) \sim x$
$(1+x)^a -1 \sim ax$
$\sqrt {1+x} - 1 \sim \frac{1}{2}x$
第四章 极限的计算
4.1 极限的四则运算法则简介
4.1.1 极限运算加减法则：
$$
\lim[f(x) \pm g(x)] = \lim f(x) \pm \lim g(x) = A \pm B
$$
4.1.2 极限运算乘法法则：
$$
\lim[f(x) \cdot g(x)] = \lim f(x)\cdot \lim g(x)=A \cdot B
$$
4.1.3 极限运算除法法则：
$$
\lim\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim f(x)}{\lim g(x)}=\frac{A}{B}(B\neq 0)
$$
4.2 极限的四则运算(上)
4.3 极限的四则运算(下)
4.4 第一重要极限
x
$\pm 1$
$\pm 0.7$
$\pm 0.5$
$\pm 0.3$
$\pm 0.1$
$\pm 0.01$
$...... \to 0$
$f(x)=\frac{\sin x}{x}$
0.84147
0.92031
0.95885
0.98507
0.99833
0.9998
$......\to1$
4.5 第二重要极限
x
…
10
100
1000
10000
100000
…
$(1+\frac{1}{x})^2$
…
2.59374
2.70481
2.71692
2.71815
2.71827
…
x
…
-10
-100
-1000
-10000
-100000
…
$(1+\frac{1}{x})^x$
…
2.86797
2.73200
2.71964
2.7184
2.71830
…
4.6 极限的计算方法与技巧
②验证无穷小的性质：如果函数满足无穷小的计算性质，比如说函数是一个无穷小乘以有界函数的话，我们就可以利用无穷小的性质来进行计算。
第五章 函数的连续性
5.1 函数的连续性
2-x, & x\lt1 \ x^2, & x \geq 1 \end{cases}$ 在 $x=1$ 处是否连续？
5.2 间断的概念
5.2.1 无穷间断点
5.2.2 跳跃间断点
5.2.3 可去间断点
5.3 间断点的分类
5.3.1 第一类间断点
5.3.2 第二类间断点
第六章 导数和微分
6.1 导数的概念
6.1.1 引例
6.1.1.1 瞬时速度
6.1.1.2 平面曲线的切线斜率
6.2 导数的概念
6.2.1 一点处的导数
6.2.2 左导数、右导数
6.2.3 导函数
6.3 导数的几何意义
6.3.1 切线方程
6.3.2 法线方程
6.4 函数的可导性与连续性的关系
第七章 导数基本公式与基本运算法则
7.1 导数的基本公式
$(C)'=0$ （C为常数）
$(x^a)'=ax^{a-1}$
$(a^x)'=a^x\ln a (a>0且a \neq 1)$
$(e^x)'=e^x$
$(\log_{a} x)'=\frac{1}{x\ln a} (a>0且a \neq 1)$
$(\ln x)'=\frac{1}{x}$
$(\sin x)'=\cos x$
$(\cos x)'=-\sin x$
$(\tan x)'=\frac{1}{\cos^2x}=\sec^2x$
$(\cot x)'=-\frac{1}{\sin^{2}x}=-\csc^2 x$
$(\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt(1-x^2)}$
$(\arccos x)'=-\frac{1}{\sqrt(1-x^2)}$
$(\arctan x)'=\frac{1}{1+x^2}$
$(arccot x)'=-\frac{1}{1+x^2}$
7.1.1 常数的导数
$(C)' = 0$ (常数)
7.1.2 幂函数的导数
$(x^a)'=ax^{a-1}$
7.1.3 指数函数的导数
$(a^x)'=a^x\ln a(a>0且a\neq1)$
7.1.4 对数函数的导数
$(\log_a{x})'=\frac{1}{x\ln a}(a>0且a\neq 1)$
7.1.5 三角函数的导数
$$(\sin x)'=\cos x$$
$$(\cos x)'=-\sin x$$
$$(\tan x)'=\frac{1}{cos^2x}=\sec^2x$$
$$(\cot x)'=-\frac{1}{\sin^2x}=-\csc^2x$$
7.1.6 反三角函数的导数
$$(\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$
$$(\arccos x)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$
$$(\arctan x)'=\frac{1}{1+x^2}$$
$$(arccot x)'=-\frac{1}{1+x^2}$$
7.2 函数加减法求导法则
7.3 函数乘法求导法则
7.4 函数除法求导法则
第八章 复合函数的导数
8.1 复合函数的概念
8.1.1 引例
8.1.2 概念
8.1.3 直接代入法
8.2 复合函数拆分
我们将
8.3 复合函数求导
8.3.1 复合函数求导法则
8.3.2 复合函数求导法则推广
8.3.3 复合函数求导口诀
依次相乘，回代变量。8.3.4 小结
2、求导过程中眼睛要仔细观察、大脑要认真分析、手上落笔不能马虎，真正做到手、眼、脑三合一。第九章 隐函数的导数
9.1 隐函数求导
9.2 对数求导法
9.3 高阶导数
第十章 微分
9.1 微分的概念
9.2 微分的计算
第十章 导数的应用
10.1 中值定理
10.2 洛必达法则
10.3 函数的单调性
10.4 函数的极值
10.5 函数的最值
10.6 曲线的凸凹性与拐点
10.7 函数的分析作图